DeBERTa#
DEBERTA: DECODING-ENHANCED BERT WITH DIS-ENTANGLED ATTENTION
Published as a conference paper at ICLR 2023 Paper PDF
Pengcheng He, Microsoft Dynamics 365 AI
Xiaodong Liu, Microsoft Research
Jianfeng Gao, Microsoft Research
Weizhu Chen, Microsoft Dynamics 365 AI
{penhe,xiaodl,jfgao,wzchen}@microsoft.com
microsoft์์ deberta๋ฅผ ๋ง๋ค์๋ค๋ณด๋ ์งํ์ง์ด ์ ๋ถ microsoft์ด๋ค.
Abstract
Recent progress in pre-trained neural language models has significantly improved the performance of many natural language processing (NLP) tasks. In this paper we propose a new model architecture DeBERTa (Decoding-enhanced BERT with disentangled attention) that improves the BERT and RoBERTa models using two novel techniques. The first is the disentangled attention mechanism, where each word is represented using two vectors that encode its content and position, respectively, and the attention weights among words are computed using disentangled matrices on their contents and relative positions, respectively. Second, an enhanced mask decoder is used to incorporate absolute positions in the decoding layer to predict the masked tokens in model pre-training. In addition, a new virtual adversarial training method is used for fine-tuning to improve modelsโ generalization. We show that these techniques significantly improve the efficiency of model pre-training and the performance of both natural language understanding (NLU) and natural langauge generation (NLG) downstream tasks. Compared to RoBERTa-Large, a DeBERTa model trained on half of the training data performs consistently better on a wide range of NLP tasks, achieving improvements on MNLI by +0.9% (90.2% vs. 91.1%), on SQuAD v2.0 by +2.3% (88.4% vs. 90.7%) and RACE by +3.6% (83.2% vs. 86.8%). Notably, we scale up DeBERTa by training a larger version that consists of 48 Transform layers with 1.5 billion parameters. The significant performance boost makes the single DeBERTa model surpass the human performance on the SuperGLUE benchmark (Wang et al., 2019a) for the first time in terms of macro-average score (89.9 versus 89.8), and the ensemble DeBERTa model sits atop the SuperGLUE leaderboard as of January 6, 2021, out performing the human baseline by a decent margin (90.3 versus 89.8).
๋ฌธ์ ์ค์ Introduction#
Transformer๋ nlp์์ ๊ฐ์ฅ ํจ๊ณผ์ ์ธ network architecture๋ก ์๋ฆฌ์ก์๋ค. ์์์ ๋ฐ๋ผ text๋ฅผ ์ฒ๋ฆฌํ๋ RNN๋ค๊ณผ ๋ค๋ฅด๊ฒ, tranformers๋ ์ ๋ ฅ ํ ์คํธ(input text)์ ๋ชจ๋ ๋จ์ด(every words)์ ๋ํด์ self-attention์ ์ ์ฉํ์ฌ, attention weight๋ฅผ ๋ฝ์๋ธ๋ค. ๊ทธ๋ฆฌ๊ณ ์ด attention weight๋ ๊ฐ ๋จ์ด๋ค์ด ์๋ก์๊ฒ ์ด๋ ํ ์ํฅ์ ๋ฏธ์น๋์ง๋ฅผ ๋ํ๋ด๋ ์์น์ด๋ค. ์ด๋ฌํ ๋ฐฉ์(๋ณ๋ ฌ์ฒ๋ฆฌ)์ transformer๊ฐ ์ฌ์ฉํ๊ณ ์๊ธฐ ๋๋ฌธ์ RNN๊ณผ ๊ฐ์ ์์ฐจ์ฒ๋ฆฌ ๋ชจ๋ธ๋ณด๋ค large-scale training์ด ๊ฐ๋ฅํ ๊ฒ์ด๋ค.
1.1 Parallelization#
RNN๊ณผ transformer๋ ๋ ๋ค sequence modeling architecture์ด๋ค. ํ์ง๋ง transformer๋ ์ํ์ค์ ๋ชจ๋ ์์น์ ๋ํด ๋์์ ์ฐ์ฐ์ ์ํํด์ ๋ณ๋ ฌํ๊ฐ ๋ ์ฝ๋ค. ๋ณ๋ ฌํ๋ผ๋ ๋ง ์์ฒด๋ ํ๋์ ์์ ์ ์ฌ๋ฌ ๊ฐ์ ์์ ์๊ฒ ใ ์ผ๋ก ๋๋์ด ๋์์ ์ฒ๋ฆฌํจ์ผ๋ก์จ ์ ์ฒด์ ์ผ๋ก๋ ํ๋์ ์์ ์ ๋ ๋น ๋ฅด๊ณ ํจ์จ์ ์ผ๋ก ์ํํ๋ ๊ธฐ์ ์ ๋งํ๋ค. ๋ฅ๋ฌ๋ ๋ชจ๋ธ์ ํ์ต์ ๊ณ์ฐ๋, ๋ฐ์ดํฐ๋์ด ๋ง์ ์๋ก ์ข์ ๋ฐฉํฅ์ผ๋ก ํ๋ฌ๊ฐ๊ณ ์๊ธฐ ๋๋ฌธ์ ์ด๋ฌํ ๊ธฐ์ ์ ํ์์ ์ด๋ค. GPU๋ฅผ ๋์์ ์ฌ์ฉํ๊ฑฐ๋ ๋ฐ์ดํฐ๋ฅผ ์ชผ๊ฐ๊ฑฐ๋, ์ฐ์ฐ์ ์ชผ๊ฐ๊ฑฐ๋ ํ๋ ๋ฐฉ์์ผ๋ก ์ฌ๋ฌ ๋ถ๋ถ์์ ์ชผ๊ฐ์ด ๋์๋ค๋ฐ์ ์ผ๋ก ์ํํ๋ ๊ฒ์ ์ ๋ฐ์ ์ผ๋ก ๋ณ๋ ฌํ๋ผ๊ณ ๋งํ ์ ์๋ค.
๋ณ๋ ฌํ๋ฅผ ๊ฐ๋ฅํ๊ฒ ํ๋ 3๊ฐ์ง ํน์ง์ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ๋ค.
Attention ๋ฉ์ปค๋์ฆ: Transformer๋ Self-Attention ๋ฉ์ปค๋์ฆ์ ์ฌ์ฉํ์ฌ ์ ๋ ฅ ์ํ์ค์ ๋ชจ๋ ์์๋ฅผ ๋์์ ์ฒ๋ฆฌํ ์ ์์ต๋๋ค. ์ด๋ก ์ธํด ์๋ก ๋ ๋ฆฝ์ ์ธ ๊ณ์ฐ์ด ๊ฐ๋ฅํ๋ฉฐ, ๋ณ๋ ฌ ์ฒ๋ฆฌ์ ์ ํฉํฉ๋๋ค.
Layer ๋จ์ ๋ณ๋ ฌํ: Transformer์ ์ธ์ฝ๋์ ๋์ฝ๋๋ ์ฌ๋ฌ ์ธต์ผ๋ก ๊ตฌ์ฑ๋์ด ์์ผ๋ฉฐ, ์ด๋ฌํ ์ธต๋ค์ ๋ ๋ฆฝ์ ์ผ๋ก ๋ณ๋ ฌ๋ก ๊ณ์ฐํ ์ ์์ต๋๋ค.
๋ง์คํน: ํ์ต ์์๋ ํ ๋ฒ์ ํ๋์ ์ถ๋ ฅ๋ง์ ์์ฑํ๋๋ก ๋ง์คํนํ์ฌ ์์ฐจ์ ์ผ๋ก ๊ณ์ฐํ ์๋ ์์ต๋๋ค. ํ์ง๋ง ์ถ๋ก (inference) ๋จ๊ณ์์๋ ๋ณ๋ ฌํํ์ฌ ๋์์ ์ฌ๋ฌ ๊ฐ์ ์ถ๋ ฅ์ ์์ฑํ ์ ์์ต๋๋ค.
1.2 Disentangled attention#
relative position embedding๋ฅผ ์ฌ์ฉํ์. ๊ทผ๋ฐ vector๋ฅผ ๋ ๊ฐ๋ก ๋๋ ์โฆ
๊ธฐ์กด์ self-attention์ ์์น์ ๋ encoding ๋ฌธ์
์๋(transformers)์ self-attention mechanism์ ์ฃผ์ด์ง input sequence์์ ๋ชจ๋ ์์น์ ์ ๋ณด๋ฅผ ์ฌ์ฉํ์ฌ output์ ์์ฑํ๋ค. input sequence์ ๋ชจ๋ ์์น ๊ฐ์ ๊ด๊ณ๋ฅผ ๋์ ์์ค์ ์ํธ์์กด์ฑ์ ๊ฐ์ง ์ ์ฐ๊ฒฐ ๊ทธ๋ํ๋ก ๋ชจ๋ธ๋ง์ ํ๊ธฐ ๋๋ฌธ์, sequence์ ๊ธธ์ด๊ฐ ๊ธธ์ด์ง์๋ก ์ฐ์ฐ๋์ด ์ฆ๊ฐํ๊ณ , ์ฅ๊ธฐ์์กด์ฑ์ ํ์ตํ๋๋ฐ ์ด๋ ค์์ด ์ปค์ง๋ค.
positional bias
๋๋ฌธ์ ๊ธฐ์กด์ word embedding์ positional bias๋ฅผ ์ถ๊ฐํด์ค์ ํ๋์ ๋ฒกํฐ์์ content์ position์ ์ ๋ณด๋ฅผ ํฌํจํ๋๋ก ํ๋ ๋ฐฉ์์ด ์ฌ์ฉ๋์๋ค.
absolute position embedding : ๋ฌธ์ฅ ๋ด ์์น๋ง ๊ณ ๋ ค
relative position embedding : ๋จ์ด๊ฐ ์๋์ ์์น๋ง ๊ณ ๋ ค
๊ธฐ์กด BERT๋ฅผ ๋ณธ ๋
ผ๋ฌธ์์๋ ์ด๋ ๊ฒ ๋งํ๋ค. each word in the input layer is represented using **a vector** which is the sum of its word (content) embedding and (absolute)position embedding
. ๋ถ๋ช
ํ๊ฒ absolute position ์ ๋ณด๊ฐ ์ค์ํ ๊ฒ์ ๋ง์ง๋ง ๋ค์์ ๋ฐ๋ฅธ ๋ฐฉ๋ฒ์ผ๋ก ์ด์ฉํ๋, ์ฌ๊ธฐ์๋ relative position embedding์ ์ด์ฉํ์ฌ ์์น์ ๋ณด๋ฅผ input์ผ๋ก ์ฌ์ฉํ๊ณ , ์ค์ ๋ก ๋ง์ ์ ์ ์ฐ๊ตฌ๋ค์์ ์ด ๋ฐฉ๋ฒ์ ์ค์์ฑ์ ๋งํด์คฌ๋ค๊ณ ํ๋ค.
โฆ |
word in input layer |
---|---|
transformer |
word itself |
Bert |
vector(word embedding(token) + position embedding) |
Deberta |
vector(word embedding(token)),vector(absoulte position embedding) |
์ฌ๊ธฐ์๋ relative word embedding์ ์ฌ์ฉ
disentangled attention์ ์ด๋ ๊ฒ ๊ฐ๊ฐ์ embedding์ผ๋ก word์ ๋ํ ํํ์ ํ ๋ค, ๊ฐ๊ฐ์ attention weight๋ฅผ disentangled matrices = 2๊ฐ์ vectors -> 2x2 = 4๊ฐ์ matrices
๋ฅผ ์ด์ฉํด์ ๊ณ์ฐํ๋ค. ์ด๋ ๋จ์ด์ ๊ด๊ณ๋ผ๋ ๊ฒ์ด ์๋ฏธ์ ๊ด๊ณ๋ง ์๋ ๊ฒ์ด ์๋๋ผ ์๋์ ์ธ ์์น์ ์ํด์๋ ์ํฅ์ ๋ฐ๋ ๊ฒ์์ ๋์จ ๊ฒ์ด๋ค. ๋ณธ๋ฌธ์ ์์๋ โdeepโ,โlearningโ์ด๋ผ๋ ๋ ๋จ์ด๊ฐ ๋ค๋ฅธ ๋ฌธ์ฅ์์ ์์ ๋๋ณด๋ค ์์ ๋ถ์ด์์ ๋ ์์กด์ฑ์ด ๊ต์ฅํ ๋์์ง๋ ๊ฒ์ผ๋ก ๋ ๋ค.
1.3 Enhanced mask decoder#
absolute position embedding ๋ํ๊ธฐ
MLM : masked language modeling์ Bert์์ ๋์๋ ๊ฒ์ผ๋ก ํด๋น ๋ชจ๋ธ ์ญ์ ์ด ๋ฐฉ๋ฒ์ ์ฌ์ฉํด์ ๊ธฐ๋ณธ์ ์ธ pre-training์ ์งํํ๋ค. MLM ์ด๋ผ๋ ๊ฒ์ fill-in-the-black task
๋ก ์ฃผ๋ณ์ ๋จ์ด๋ค์ ์ฌ์ฉํด์ blank(masked word)์ ์๋ word๋ฅผ ์ ์ถํด ๋ด๋ ๊ฒ์ด๊ณ , deberta์ ์ฐจ์ด๋ MLM์ ํ๋ ์์ disentangled ์ดํ
์
์ ์ฌ์ฉํด์ ๋ ๊ฐ์ ๋ณ๊ฐ์ vector๋ฅผ ์ด์ฉํด์ MLM์ ์ํํ๋ค. ๋ฌธ์ ๋ position embedding์ด ์๋์ ์ธ ์์น๋ฅผ ์ฌ์ฉํ์ง๋ง ๋จ์ด์ ์ ๋์ ์์น๊ฐ ์๋ค๋ ๊ฒ์ด๋ค. ์ ๋์ ์์น๋ ๊ตฌ๋ฌธ๋ก ์ ์ผ๋ก ์ดํด๋ฅผ ๋๋ ๊ต์ฅํ ์ค์ํ ์ ๋ณด๋ผ๊ณ ๋งํ๋ค.
a new store opened beside the new mall
์ด๋ฌํ ์์์์ store, mall์ด ๋ ๋ค masking๋์์๋, ๋์ context์ ์ธ ์๋ฏธ๋ โ๊ฐ๊ฒโ๋ก ๋น์ทํ์ง๋ง ๊ตฌ๋ฌธ๋ก ์ ์ผ๋ก ์์ store๋ ์ฃผ์ด์ ์ญํ ์ ํ๊ณ ์๋ค. ์ด๋ฌํ ๊ตฌ๋ฌธ๋ก ์ ์ธ ์ ๋ณด๋ฅผ ์ฃผ๋ ๊ฒ์ context, content๊ฐ ์๋๋ผ absolute position์ด๋ค.
ํด์ deberta์์๋ ์ด๋ฌํ absolute position embedding์ softmax layer ์ง์ ์ ๋ฃ์ด์ค๋ค. ๋ฐ๋ก ์ด ์ง์ ์ด ๋ชจ๋ธ์ด ์์์ ๋งํ content, position embedding ์กฐํฉ์ ๊ธฐ๋ฐ์ผ๋ก masking์ ํด๋ ํ๊ธฐ ์ง์ ์ด๋ค. ๊ทธ๋๊น ๊ฑฐ์ ๋ง์ง๋ง์ ๋ฃ์ด์ฃผ๋ ๊ฒ์ผ๋ก โ์ฐธ์กฐโ์ ์์ค์ผ๋ก ํ๋ ๊ฒ์ผ๋ก ๋ณด์ธ๋ค.
1.3 virtual adversarial training#
์ด๊ฑด ์์ธํ๊ฒ ์ค๋ช ์ด ์์ ์๋์ค๋๋ฐ model generalization์ ์ข๋ค๊ณ ํ๋ค.
1.4 MLM#
Masked Language Model
๊ธฐ์กด์ large-scale transformer-based PLM(pretrained language model)๋ค์ ๋ณดํต ๋ง์ ์์ ํ ์คํธ๋ฅผ ๊ฐ์ง๊ณ ๋ฌธ๋งฅ์ ์ธ ๋จ์ด์ ํํ(contextual word representation)์ ๋ฐฐ์ฐ๊ธฐ ์ํด์ ํ์ต ๊ณผ์ ์ ๊ฑฐ์ณค๋ค. ์ด ํ์ต ๊ณผ์ ์ โself-supervision objectiveโ ๊ทธ๋ฌ๋๊น ์๊ธฐ์ง๋ ํ์ต์ธ๋ฐ, ๋ฐฉ๋ฒ๋ก ์ ์ผ๋ก๋ MLM์ ๊ฐ๋ฆฌํจ๋ค. ์ด์ ์์์ ์ผ๋ก ๋ค์ด๊ฐ๋ณด์
MLM
given a sequence \(X = \{x_i\}\)
corrupt it into \(\tilde{X}\) by 15% of its tokens at random
model parameterized by \(\theta\)
train model to reconstruct \(\tilde{X}\)
by predicting the masked token \(\tilde{x}\) conditioned on \(\tilde{X}\)
C = index set of the masked tokens in sequence
10%์ masked tokens๋ ๋ณ์น์์ ๋๋ก ๋๊ณ
๋ค๋ฅธ 10%๋ ๋ฌด์์๋ก ๊ณ ๋ฅธ ๊ฒ๊ณผ ๋ฐ๊พธ๊ณ
80%๋ mask token์ผ๋ก ๋ฐ๊พธ๋ผ๊ณ ํ๋ค.
DeBERTa architecture#
3.1 Disentangled attention#
a two-vector approach to content and position embedding
$i\( : position of token in a sequence\ \){H_i}\( : content of token, hidden state, output from encoding\ \){P_{i|j}}$ : relative position with j-th token, from distance of tokens\
cross attention score token_i / token_j
ํ๋์ ๋จ์ด ์์ ๋ํด์ attention weight๋ฅผ ๊ณ์ฐํ๋ ค๋ฉด 4 attention score๋ฅผ ๊ตฌํด์ผ ํ๋ค. ์ด ๊ณผ์ ์์ ์ฌ์ฉ๋๋ ๊ฒ์ด disentangled matrices
์ด๊ณ ์ด๋ content position ๋ ๊ฐ์ ๋ํด์ content-content
,content-position
,position-content
,position-position
๋ก 4๊ฐ๊ฐ ๋๋ค.
\(H_i H_j^{\intercal}\): i๋ฒ์งธ ํ ํฐ์ ๋ด์ฉ ์ ๋ณด์ j๋ฒ์งธ ํ ํฐ์ ๋ด์ฉ ์ ๋ณด ๊ฐ์ ์ํธ์์ฉ์ ๋ํ๋ ๋๋ค. ์ด๋ ํ ํฐ ๊ฐ์ ๋ด์ฉ์ ์ธ ์ ์ฌ์ฑ์ ์ธก์ ํฉ๋๋ค.
content-content
\(H_i P_{j|i}^{\intercal}\): i๋ฒ์งธ ํ ํฐ์ ๋ด์ฉ ์ ๋ณด์ j๋ฒ์งธ ํ ํฐ์ ๋ํ i๋ฒ์งธ ํ ํฐ์ ์๋์ ์์น ์ ๋ณด ๊ฐ์ ์ํธ์์ฉ์ ๋ํ๋ ๋๋ค. ์ด๋ i๋ฒ์งธ ํ ํฐ์ ๋ด์ฉ์ด j๋ฒ์งธ ํ ํฐ์ ๋ํ ์์น์ ์ด๋ป๊ฒ ์ํฅ์ ๋ฏธ์น๋์ง๋ฅผ ์ธก์ ํฉ๋๋ค.
content-position
\(P_{i|j} H_j^{\intercal}\): i๋ฒ์งธ ํ ํฐ์ ๋ํ j๋ฒ์งธ ํ ํฐ์ ์๋์ ์์น ์ ๋ณด์ j๋ฒ์งธ ํ ํฐ์ ๋ด์ฉ ์ ๋ณด ๊ฐ์ ์ํธ์์ฉ์ ๋ํ๋ ๋๋ค. ์ด๋ j๋ฒ์งธ ํ ํฐ์ ๋ด์ฉ์ด i๋ฒ์งธ ํ ํฐ์ ๋ํ ์์น์ ์ด๋ป๊ฒ ์ํฅ์ ๋ฏธ์น๋์ง๋ฅผ ์ธก์ ํฉ๋๋ค.
position-content
\(P_{i|j} P_{j|i}^{\intercal}\): i๋ฒ์งธ ํ ํฐ์ ๋ํ j๋ฒ์งธ ํ ํฐ์ ์๋์ ์์น ์ ๋ณด์ j๋ฒ์งธ ํ ํฐ์ ๋ํ i๋ฒ์งธ ํ ํฐ์ ์๋์ ์์น ์ ๋ณด ๊ฐ์ ์ํธ์์ฉ์ ๋ํ๋ ๋๋ค. ์ด๋ ํ ํฐ ๊ฐ์ ์๋์ ์ธ ์์น์ ์ ์ฌ์ฑ์ ์ธก์ ํฉ๋๋ค.
position-position - relative position embedding์์๋ ์ ๊ฑฐ๋๋ ๋ถ๋ถ
์ด 4๊ฐ๋ฅผ disentangled attentions๋ผ๊ณ ํ๋ ๊ฒ์ด๋ค
์ด์ ์ relative position encoding์ ๊ธฐ์กด์ attention weight์๋ค๊ฐ relative position bias๋ฅผ ๋ํด์ฃผ๋ ์์ผ๋ก ์์์์ 1,2๋ฒ๋ง์ ์ฌ์ฉํ๋ ์์ผ๋ก ์ฌ์ฉ๋์๋ค. ํ์ง๋ง deberta์์๋ ์ด๋ ๊ฒ ๋ชจ๋ ๊ฒ์ ์ฌ์ฉํ๋ 4๋ฒ์ ์์ฌ์ฉํ๋ค. ์ด๋ฏธ 1,2,3์์ ๋ ํ ํฐ ๊ฐ์ ์๋์ ์์น ์ ๋ณด๋ฅผ ์ถฉ๋ถํ captureํ๋ค๊ณ ํ๋จํ๊ธฐ ๋๋ฌธ์ ์์์์ผ๋ก๋ out๋์๋ค๊ณ ํ๋ค.
3.1.1 standard self-attention operation#
\(R^{N \times d}\) : N(๋ฌธ์ฅ์ ๊ธธ์ด, ํ ํฐ์ ์)๊ฐ์ ํ * d(ํ ํฐ์ hidden ๋ฒกํฐ์ ์ฐจ์)๊ฐ์ ์ด - ์ฐจ์์ ์ค์ยฎ ํ๋ ฌ
\(H \in R^{N \times d}\) : input hidden vectors
\(H_o \in R^{N \times d}\) : output of self-attention
\(W_q,W_k,W_v \in R^{d \times d}\) : projection matrices
\(A \in R^{N \times N}\) : attention matrix
์ฌ๊ธฐ์ Q, K, V๋ ๊ฐ๊ฐ query, key, value๋ฅผ ๋ํ๋ด๋ฉฐ, d_k๋ key์ ์ฐจ์์ ๋ํ๋ ๋๋ค. ์ด ๋ ๊ฐ ํ ํฐ์ ์์น ์ ๋ณด๋ absolute positional encoding ๋ฐฉ์์ ํตํด ๊ฐ ํ ํฐ์ hidden state์ ์ถ๊ฐ๋๊ณ , ์ด ์ ๋ณด๊ฐ ํฌํจ๋ hidden state๊ฐ query, key, value๋ก ์ฌ์ฉ๋ฉ๋๋ค.
3.1.2 relative distance#
\(k\) : maximum relative distance
\(\delta(i,j)\in[0,2k)\) : the relative distance from token i to token j
์ฌ๊ธฐ์ [ : ํฌํจ, ) : ๋ฏธํฌํจ์ ์๋ฏธํ๋ค. ์๋์ ๊ฑฐ๋ฆฌ๊ฐ์ด 0<=x<2k ์ ๋ป์ด๋ผ๊ณ ํ๋ค. 0~2k-1์ฌ์ด์ ์ ์ ๊ฐ
3.1.3 disentangled self-attention#
with relative position bias as equation 4
\(Q_c,K_c,V_c\) : projected content vectors from projection matrices
\(W_{q,c},W_{k,c},W_{v,c} \in R^{d\times d}\) : projection matrices
\(P \in R^{2k\times d}\) : relative position embedding vectors shared with all layers
\(Q_r, K_r\) : projected relative position vectors
\(W_{q,r},W_{k,r} \in R^{d\times d}\) : projection matrices
\(\tilde{A}_{i,j}\) : \(\tilde{A}\)์ ์์. ํ ํฐ i์์ token j ๋ก์ ์ดํ ์ ์ค์ฝ์ด
\(Q_i^c\) : i-th row of \(Q_c\)
\(Q^r_{\delta(j,i)}\) : \(Q_r\) with regarding to ์๋์ ๊ฑฐ๋ฆฌ \(\delta(j,i)\)
projection matrix#
ํ ๋ฒกํฐ๋ ๊ณต๊ฐ์ ๋ค๋ฅธ ๊ณต๊ฐ์ผ๋ก mappingํ๋ ๊ฒ์ ๋์ฐ๋ matrix